(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
app(nil, YS) → YS
app(cons(X, XS), YS) → cons(X, n__app(activate(XS), YS))
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
zWadr(nil, YS) → nil
zWadr(XS, nil) → nil
zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(app(Y, cons(X, n__nil)), n__zWadr(activate(XS), activate(YS)))
prefix(L) → cons(nil, n__zWadr(L, n__prefix(L)))
app(X1, X2) → n__app(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
nil → n__nil
zWadr(X1, X2) → n__zWadr(X1, X2)
prefix(X) → n__prefix(X)
activate(n__app(X1, X2)) → app(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__nil) → nil
activate(n__zWadr(X1, X2)) → zWadr(activate(X1), activate(X2))
activate(n__prefix(X)) → prefix(activate(X))
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
activate(n__app(n__from(X13306_0), X2)) →+ app(cons(activate(X13306_0), n__from(n__s(activate(X13306_0)))), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X13306_0 / n__app(n__from(X13306_0), X2)].
The result substitution is [ ].
The rewrite sequence
activate(n__app(n__from(X13306_0), X2)) →+ app(cons(activate(X13306_0), n__from(n__s(activate(X13306_0)))), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1,0,0].
The pumping substitution is [X13306_0 / n__app(n__from(X13306_0), X2)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(2^n, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
app(nil, YS) → YS
app(cons(X, XS), YS) → cons(X, n__app(activate(XS), YS))
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
zWadr(nil, YS) → nil
zWadr(XS, nil) → nil
zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(app(Y, cons(X, n__nil)), n__zWadr(activate(XS), activate(YS)))
prefix(L) → cons(nil, n__zWadr(L, n__prefix(L)))
app(X1, X2) → n__app(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
nil → n__nil
zWadr(X1, X2) → n__zWadr(X1, X2)
prefix(X) → n__prefix(X)
activate(n__app(X1, X2)) → app(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__nil) → nil
activate(n__zWadr(X1, X2)) → zWadr(activate(X1), activate(X2))
activate(n__prefix(X)) → prefix(activate(X))
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
app(nil, YS) → YS
app(cons(X, XS), YS) → cons(X, n__app(activate(XS), YS))
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
zWadr(nil, YS) → nil
zWadr(XS, nil) → nil
zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS)) → cons(app(Y, cons(X, n__nil)), n__zWadr(activate(XS), activate(YS)))
prefix(L) → cons(nil, n__zWadr(L, n__prefix(L)))
app(X1, X2) → n__app(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
nil → n__nil
zWadr(X1, X2) → n__zWadr(X1, X2)
prefix(X) → n__prefix(X)
activate(n__app(X1, X2)) → app(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__nil) → nil
activate(n__zWadr(X1, X2)) → zWadr(activate(X1), activate(X2))
activate(n__prefix(X)) → prefix(activate(X))
activate(X) → X
Types:
app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
cons :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
activate :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
hole_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix1_0 :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0 :: Nat → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
app,
activateThey will be analysed ascendingly in the following order:
app = activate
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
app(
nil,
YS) →
YSapp(
cons(
X,
XS),
YS) →
cons(
X,
n__app(
activate(
XS),
YS))
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
zWadr(
nil,
YS) →
nilzWadr(
XS,
nil) →
nilzWadr(
cons(
X,
XS),
cons(
Y,
YS)) →
cons(
app(
Y,
cons(
X,
n__nil)),
n__zWadr(
activate(
XS),
activate(
YS)))
prefix(
L) →
cons(
nil,
n__zWadr(
L,
n__prefix(
L)))
app(
X1,
X2) →
n__app(
X1,
X2)
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilzWadr(
X1,
X2) →
n__zWadr(
X1,
X2)
prefix(
X) →
n__prefix(
X)
activate(
n__app(
X1,
X2)) →
app(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__zWadr(
X1,
X2)) →
zWadr(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__prefix(
X)) →
prefix(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
cons :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
activate :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
hole_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix1_0 :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0 :: Nat → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
Generator Equations:
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(0) ⇔ n__nil
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(n__nil, gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, app
They will be analysed ascendingly in the following order:
app = activate
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
app(
nil,
YS) →
YSapp(
cons(
X,
XS),
YS) →
cons(
X,
n__app(
activate(
XS),
YS))
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
zWadr(
nil,
YS) →
nilzWadr(
XS,
nil) →
nilzWadr(
cons(
X,
XS),
cons(
Y,
YS)) →
cons(
app(
Y,
cons(
X,
n__nil)),
n__zWadr(
activate(
XS),
activate(
YS)))
prefix(
L) →
cons(
nil,
n__zWadr(
L,
n__prefix(
L)))
app(
X1,
X2) →
n__app(
X1,
X2)
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilzWadr(
X1,
X2) →
n__zWadr(
X1,
X2)
prefix(
X) →
n__prefix(
X)
activate(
n__app(
X1,
X2)) →
app(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__zWadr(
X1,
X2)) →
zWadr(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__prefix(
X)) →
prefix(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
cons :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
activate :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
hole_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix1_0 :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0 :: Nat → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
Generator Equations:
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(0) ⇔ n__nil
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(n__nil, gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
app
They will be analysed ascendingly in the following order:
app = activate
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol app.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
app(
nil,
YS) →
YSapp(
cons(
X,
XS),
YS) →
cons(
X,
n__app(
activate(
XS),
YS))
from(
X) →
cons(
X,
n__from(
n__s(
X)))
zWadr(
nil,
YS) →
nilzWadr(
XS,
nil) →
nilzWadr(
cons(
X,
XS),
cons(
Y,
YS)) →
cons(
app(
Y,
cons(
X,
n__nil)),
n__zWadr(
activate(
XS),
activate(
YS)))
prefix(
L) →
cons(
nil,
n__zWadr(
L,
n__prefix(
L)))
app(
X1,
X2) →
n__app(
X1,
X2)
from(
X) →
n__from(
X)
s(
X) →
n__s(
X)
nil →
n__nilzWadr(
X1,
X2) →
n__zWadr(
X1,
X2)
prefix(
X) →
n__prefix(
X)
activate(
n__app(
X1,
X2)) →
app(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__from(
X)) →
from(
activate(
X))
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__nil) →
nilactivate(
n__zWadr(
X1,
X2)) →
zWadr(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__prefix(
X)) →
prefix(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
cons :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__app :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
activate :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__from :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__nil :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__zWadr :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
n__prefix :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
s :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
hole_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix1_0 :: cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0 :: Nat → cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix
Generator Equations:
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(0) ⇔ n__nil
gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(n__nil, gen_cons:n__app:n__s:n__from:n__nil:n__zWadr:n__prefix2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.